Question

13．已知抛物线x²=-4y的准线与双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞0，b＞0）的两条渐近线围成一个等腰直角三角形，则双曲线的离心率是$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 求出抛物线的准线方程和双曲线的渐近线方程，解方程可得交点坐标，再由垂直的向量的坐标表示，解方程可得a=b，由离心率公式即可得到所求．

解答 解：抛物线x²=-4y的准线方程为y=1，①
双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±$\frac{b}{a}$x，②
由①②可得交点为A（-$\frac{a}{b}$，1），B（$\frac{a}{b}$，1），
由围成等腰直角三角形，可得$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0，
即有-$\frac{{a}^{2}}{{b}^{2}}$+1=0，
解得a=b，c=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=$\sqrt{2}$a，
则e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{2}$．
故答案为：$\sqrt{2}$．

点评 本题考查抛物线的准线方程和双曲线的渐近线方程的运用，考查离心率的求法，考查运算能力，属于基础题．