Question

已知直线l的极坐标方程为ρsin（θ+

π

4

）=2

2

，圆C的直角坐标方程为x²+y²=1．
（1）求圆C上的点到直线l的距离的最小值；
（2）圆C经过伸缩变换

x′=2x y′=3y

后得到曲线C′，求曲线C′上的点到直线l的距离的最小值．

Answer 1

考点：伸缩变换,简单曲线的极坐标方程

专题：矩阵和变换

分析：（1）可先将直线的极坐标方程转化为普通方程，再利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，即得本题的解；
（2）利用伸缩变换得到新的曲线的方程，再利用参数方程求出点线距离的最小值．

解答： 解：（1）∵直线l的极坐标方程为ρsin（θ+

π

4

）=2

2

，
∴ρsinθcos

π

4

+ρcosθsin

π

4

=2

2

，
∵

x=ρcosθ y=ρsinθ

，
∴x+y-4=0．
∵圆C的直角坐标方程为x²+y²=1，
∴圆心坐标为O（0，0）．
∴圆心O到直线l的距离为：d=

|0+0-4|

12+12

=2

2

．
∴圆C上的点到直线l的距离的最小值为2

2

-1．
（2）∵

x′=2x y′=3y

，
∴

x= x′ 2 y= y′ 3

．
∵x²+y²=1，
∴

x′2

4

+

y′2

9

=1．
在曲线C′：

x′2

4

+

y′2

9

=1上任取一点P′（x′，y′）．
设

x′=2cosα y′=2sinα

（α为参数），
则点P′不到直线l的距离为：
d′=

|2cosα+2sinα-4|

12+12

=2|

2

-sin(α+

π

4

)|
≥2

2

-2．
∴曲线C′上的点到直线l的距离的最小值为2

2

-2．

点评：本题考查了直线的极坐标方程、曲线的参数方程、图象变换以及距离的最值，知识容量较大，属于中档题．