Question

直角坐标系中，曲线C₁的参数方程为

x=2cosα y=2+2sinα

，（α为参数），M是曲线C₁上的动点，点P满足

OP

=2

OM

，
（1）求点P的轨迹方程C₂；
（2）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ=

π

3

与曲线C₁，C₂交于不同于原点的点A，B，求|AB|．

Answer 1

考点：点的极坐标和直角坐标的互化,参数方程化成普通方程

专题：坐标系和参数方程

分析：（1）设出P点坐标，得到M的坐标，代入曲线C₁后可得点P的轨迹方程C₂；
（2）求出曲线C₁和C₂的极坐标方程，联立射线θ=

π

3

，求得射线θ=

π

3

与曲线C₁，C₂交于不同于原点的点A，B的极坐标，则|AB|可求．

解答： 解：（1）设动点P（x，y），则由

OP

=2

OM

得M（

x

2

，

y

2

），
∵点M在曲线C₁上，
∴

x 2 =2cosα y 2 =2+2sinα

，即

x=4cosα y=4+4sinα

．
∴曲线C₂的参数方程为

x=4cosα y=4+4sinα

；
（2）曲线C₁的极坐标方程为ρ=4sinθ，曲线C₂的极坐标方程为ρ=8sinθ，
它们与射线θ=

π

3

交于两点A，B的极径分别是ρ1=4sin

π

3

=2

3

，ρ2=8sin

π

3

=4

3

．
∴|AB|=|ρ₁-ρ₂|=2

3

．

点评：本题考查坐标系与参数方程的有关内容，求解时既可以化成直角坐标方程求解，也可以直接求解，关键是掌握两种坐标系下的曲线与方程的关系与其他知识的联系，是基础题．