Question

如图：已知圆C₁：（x+3）²+（y-1）²=4与圆C₂：（x-4）²+（y-5）²=4．
（1）若直线l过点A（4，0），且被圆C₁截得的弦长为2

3

，求直线l的方程；
（2）试问x轴上是否存在点P使得|PC₁|=

2

|PC₂|，若存在，则求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：圆方程的综合应用

专题：直线与圆

分析：（1）根据直线和圆的位置关系，求出圆心到直线的距离，结合距离公式即可求出直线l的方程；
（2）设出P的坐标，利用条件方程，解一元二次方程即可得到结论．

解答： 解：（1）圆C₁：（x+3）²+（y-1）²=4的圆心为（-3，1），半径r=2，
设直线l的斜率为k，则直线方程为y=k（x-4），则kx-y-4k=0，
∵被圆C₁截得的弦长为2

3

，
∴圆心到直线l的距离d=

22-( 3 )2

=

4-3

=1，
即d=

|-3k-1-4k|

1+k2

=

|7k+1|

1+k2

=1，
即（7k+1）²=1+k²，
则48k²+12k=0，解得k=0或k=-

7

24

，
即直线l的方程为y=0或y=-

7

24

（x-4）．
（2）设P（a，0），圆C₂：（x-4）²+（y-5）²=4的圆心为（4，5），
则由|PC₁|=

2

|PC₂|，
得

(a+3)2+1

=

2

•

(a-4)2+25

，
即（a+3）²+1=2（a-4）²+50，
整理得a²-22a+72=0，
即（a-4）（a-18）=0，
解得a=4或a=18，
即P（4，0）或P（18，0），
即存在点P使得|PC₁|=

2

|PC₂|，其中P（4，0）或P（18，0）．

点评：本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，考查一元二次方程的求解，综合性较强，运算量较大．