Question

已知定义在R上的连续奇函数f（x）满足f（x-2）=-f（x），且在[0，1]的最大值为2，有下列命题：
①f（x）的周期为4；
②f（x）的图象关于直线x=2k+1（k∈Z）对称； 
③f（x）的图象关于点（2k，0）（k∈Z）对称；
④f（x）在R上的最小值是2．
其中真命题为

 

．

Answer 1

考点：函数的周期性,函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：利用已知条件，周期、轴对称、中心对称的意义判断前3 个命题都是正确的，对于第四个命题，由奇偶性知f（x）在[0，1]的最大值为2，得f（x）在[-1，0]的最小值-2，再由①②③正确得④正确．

解答： 解：由f（x-2）=-f（x）
得f（x-4）=f（x），所以函数f（x）的周期为4，故①正确
由f（4k+2-x）=f（2-x）=-f（x-2）=f（x），
所以f（x）的图象关于直线x=2k+1（k∈Z）对称，故②正确；
由f（4k-x）=f（-x）=-f（x）得f（4k-x）+f（x）=0，故正确③；
由f（x）在[0，1]的最大值为2，得f（x）在[-1，0]的最小值-2，又f（x-2）=-f（x），
所以f（x）在[-1，3]的最大值为2，最小值为-2．由①得f（x）在R上的最小值是2，故④正确．
故答案为：①②③④

点评：本题考察了抽象函数的性质，性质的解析式表示，掌握好数学表达式是解题关键．