Question

对于函数f（x），x∈D，若存在x₁、x₂∈D，对任意的x∈D，都有f（x₁）≤f（x）≤f（x₂），则称f（x）为“幅度函数”，其中f（x₂）-f（x₁）称为f（x）在D上的“幅度”．
（1）判断函数f（x）=

3-2x-x2

是否为“幅度函数”，如果是，写出其“幅度”；
（2）已知x（y-1）-2^n-1y+2ⁿ=0（x∈Z，n为正整数），记y关于x的函数的“幅度”为b_n，求数列{b_n}的前n项和S_n；
（3）在（2）的条件下，令g（n）=lg

2

bn+1

+lg

2

bn+2

+…+lg

2

b2n

，求g（n）的表达式．

Answer 1

考点：数列的应用,对数的运算性质,数列的求和

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（1）利用“幅度函数”的定义可得结论；
（2）确定f（x）在（-∞，2^n-1）单调递增，在（2^n-1，+∞）单调递减，可得函数的最值，从而可求y的“幅度”，即可求数列{b_n}的前n项和S_n；
（3）利用等差数列的求和公式，即可求解．

解答： 解：（1）f(x)=

-(x+1)2+4

（-3≤x≤1）
∴0≤f（x）≤2（3分）
∴是“幅度函数”，其“幅度”为2                  （5分）
（2）y=1+

2n-1-2n

x-2n-1

（x∈Z，n∈N^*）
∵f（x）在（-∞，2^n-1）单调递增，在（2^n-1，+∞）单调递减       （7分）
∴当x=2^n-1-1时，ymax=2n-1+1
当x=2^n-1+1时，ymin=-2n-1+1
∴y的“幅度”bn=2n（9分）
∴Sn=2n+1-2（11分）
（3）g（n）=lg

2

bn+1

+lg

2

bn+2

+…+lg

2

b2n

=[n+(n+1)+(n+2)+…+(2n-1)]lg

1

2

=

n[n+(2n-1)]

2

lg

1

2

=n2(

3

2

-

1

2n

)lg

1

2

点评：本题考查新定义，考查数列的通项与求和，正确理解新定义是关键．