题目内容

已知矩阵M=
4-3
2-1
，向量
α
=
7
5

（Ⅰ）求矩阵M的特征值及属于每个特征值的一个特征向量；
（Ⅱ）求M3
α
．
考点：特征值与特征向量的计算
专题：选作题,矩阵和变换
分析：（Ⅰ）根据特征值的定义列出特征多项式，令f（λ）=0解方程可得特征值，再由特征值列出方程组即可解得相应的特征向量．
（Ⅱ）
α
=
7
5
=
1
1
+2•
3
2
，即可求M3
α
．
解答： 解：（Ⅰ）矩阵M的特征多项式为f（λ）=（λ-1）（λ-2），
令f（λ）=0，可求得特征值为λ1=1，λ2=2，
设λ1=1对应的一个特征向量为α=
x
y
，
则由λ1α=Mα，得-3x+3y=0，可令x=1，则y=-1，
所以矩阵M的一个特征值λ1=1对应的一个特征向量为
1
1
，
同理可得矩阵M的一个特征值λ2=2对应的一个特征向量为
3
2
．
（Ⅱ）
α
=
7
5
=
1
1
+2•
3
2

所以M3
α
=
1
1
+2×23×
3
2
=
49
33
．
点评：本题主要考查了矩阵特征值与特征向量的计算等基础知识，属于基础题．
练习册系列答案
相关题目
已知A、B、C是△ABC的三内角，向量
m
=（-1，
3
），
n
=（cosA，sinA），且
m
•
n
=1，
1+sin2B
cos2B-sin2B
=-3，求cosC．
数列{an}中，已知a1=2，当n≥2时，an=
1
3
an-1+
2
3n-1
．数列{bn}满足bn=3n-1an（n∈N*）
（Ⅰ）证明：{bn}为等差数列，并求{bn}的通项公式；
（Ⅱ）记数列{
an
n
}的前n项和为Sn，是否存在正整数m，n使得
Sn-m
Sn+1-m
＜
3m
3m+1
成立？若存在，求出所有符合条件的有序实数对（m，n）；若不存在，请说明理由．
已知（
x
+
2
x2
）n的展开式中，第5项的系数与第3项的系数之比是10：1，求展开式中：
（1）含x-1的项；
（2）系数最大的项．
求下列函数的导数
（1）y=
1
x
•cosx；
（2）y=x•lnx．
已知数列{an}的前n项和为Sn，点（an+2，Sn+1）在直线y=4x-5上，其中n∈N*，令bn=an+1-2an，且 a1=1．
（1）求{bn}的通项公式；
（2）若存在数列{Cn}满足等式：bn=
C1
1
+
C2
2
+
C3
3
+…+
Cn
n
（n∈N*），求{Cn}的前n项和Tn．
如图，直四棱ABCD-A1B1C1D1的底面为正方形，P、O分别是上、下底面的中心，点E是AB的中点，AB=kAA1．
（Ⅰ）求证：A1E∥平面PBC：
（Ⅱ）当k=
2
时，求直线PA与平面PBC所成角的正弦值：
（Ⅲ）当k取何值时，O在平面PBC内的射影恰好为△PBC的重心？
对于函数f（x），x∈D，若存在x1、x2∈D，对任意的x∈D，都有f（x1）≤f（x）≤f（x2），则称f（x）为“幅度函数”，其中f（x2）-f（x1）称为f（x）在D上的“幅度”．
（1）判断函数f（x）=
3-2x-x2
是否为“幅度函数”，如果是，写出其“幅度”；
（2）已知x（y-1）-2n-1y+2n=0（x∈Z，n为正整数），记y关于x的函数的“幅度”为bn，求数列{bn}的前n项和Sn；
（3）在（2）的条件下，令g（n）=lg
2
bn+1
+lg
2
bn+2
+…+lg
2
b2n
，求g（n）的表达式．
在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是以∠ABC为直角的等腰三角形，点A1在平面ABC上的射影为AC的中点D，AC=2，BB1=3，则AB1与底面ABC所成角的正切值为
 
．

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