Question

15．已知函数f（x）=log_a（x+4）-1（a＞0且a≠1）的图象恒过定点A，若直线$\frac{x}{m}+\frac{y}{n}=-2$（m，n＞0）也经过点A，则3m+n的最小值为（　　）

• A． 16
• B． 8
• C． 12
• D． 14

Answer 1

分析 求出函数f（x）的图象恒过定点A的坐标，利用基本不等式的性质即可求解3m+n的最小值．

解答 解：由题意，函数f（x）=log_a（x+4）-1（a＞0且a≠1），
令x+4=1，可得x=-3，带入可得y=-1
∴图象恒过定点A（-3，-1）．
∵直线$\frac{x}{m}+\frac{y}{n}=-2$（m，n＞0）也经过点A，
∴$\frac{3}{m}+\frac{1}{n}=2$，即$\frac{3}{2m}+\frac{1}{2n}=1$．
那么：3m+n=（3m+n）（$\frac{3}{2m}+\frac{1}{2n}$）=$\frac{9}{2}+\frac{1}{2}+\frac{3n}{2m}+\frac{3m}{2n}$
≥2$\sqrt{\frac{3n}{2m}×\frac{3m}{2n}}$+5=8．（当且仅当n=m=2时，取等号）
∴3m+n的最小值为8．
故选B．

点评 本题考了对数函数的恒过定点的求法和基本不等式的运用．属于中档题．