Question

2．已知直线l：3x+4y-1=0，圆C：（x+1）²+（y+1）²=r²，若圆上有且仅有两个点到直线的距离为1，则圆C半径r的取值范围是$\frac{3}{5}$＜r＜$\frac{13}{5}$．

Answer 1

分析 圆（x+1）²+（y+1）²=r²上有且仅有两个点到直线3x+4y-1=0的距离等于1，先求圆心到直线的距离，再求半径的范围．

解答 解：圆（x+1）²+（y+1）²=r²的圆心坐标（-1，-1），圆心到直线3x+4y-1=0的距离为：$\frac{|-3-4-1|}{\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}}$=$\frac{8}{5}$．
又圆（x+1）²+（y+1）²=r²上有且仅有两个点到直线3x+4y-1=0的距离等于1，满足|r-$\frac{8}{5}$|＜1，
解得$\frac{3}{5}$＜r＜$\frac{13}{5}$．
故半径R的取值范围是$\frac{3}{5}$＜r＜$\frac{13}{5}$．
故答案为：$\frac{3}{5}$＜r＜$\frac{13}{5}$．

点评 本题考查直线与圆的位置关系，考查数形结合的数学思想，是中档题．