Question

7．如图，已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F₁，F₂，|F₁F₂|=2$\sqrt{3}$，P是双曲线右支上的一点，F₂P与y轴交于点A，△APF₁的内切圆左边PF₁上的切点为Q，若|PQ|=1，则双曲线的离心率是（　　）

• A． 2
• B． 3
• C． $\sqrt{2}$
• D． $\sqrt{3}$

Answer 1

分析 设内切圆与AF₁，AF₂相切于M，N，|PF₂|=t，运用内切圆的性质：切线长相等，以及双曲线的定义和双曲线的离心率公式，化简计算即可得到所求值．

解答 解：设内切圆与AF₁，AF₂相切于M，N，|PF₂|=t，
由双曲线的定义可得|PF₁|-|PF₂|=2a，
由|PQ|=1，可得|QF₁|=2a+t-1，
再由圆的切线的性质可得|NF₁|=|F₁Q|，|MP|=|QP|=1，
又|AF₁|=|AF₂|，|AM|=|AN|，
则|MF₂|=|NF₁|=1+t，
即有|F₁Q|=|MF₂|，
即2a+t-1=1+t，解得a=1，
由|F₁F₂|=2$\sqrt{3}$，可得2c=2$\sqrt{3}$，
即c=$\sqrt{3}$，
则双曲线的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{3}$．
故选：D．

点评 本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用双曲线的定义和圆的切线的性质，考查推理能力和数形结合的能力，属于中档题．