Question

19．已知函数f（x）=|2x-1|+|2x+a|，g（x）=x+3．
（1）当a=2时，求不等式f（x）＜g（x）的解集；
（2）设a＞$\frac{1}{2}$，且当x∈[$\frac{1}{2}$，a]时，f（x）≤g（x），求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）对x分类讨论，去掉绝对值符号解出即可得出．
（2）当a＞$\frac{1}{2}$，x∈[$\frac{1}{2}$，a]，时，f（x）=4x+a-1，不等式f（x）≤g（x）化为3x≤4-a，化简利用a的取值范围即可得出．

解答 解：（1）由|2x-1|+|2x+2|＜x+3，得：
①$\left\{\begin{array}{l}{x＜-1}\\{-4x-1＜x+3}\end{array}\right.$得x∈∅；
②$\left\{\begin{array}{l}{-1≤x≤\frac{1}{2}}\\{3＜x+3}\end{array}\right.$得0＜x≤$\frac{1}{2}$；
③$\left\{\begin{array}{l}{x＞\frac{1}{2}}\\{4x+1＜x+3}\end{array}\right.$得$\frac{1}{2}＜x＜\frac{2}{3}$…（5分）
综上：不等式f（x）＜g（x）的解集为$（0，\frac{2}{3}）$…（6分）
（2）∵a＞$\frac{1}{2}$，x∈[$\frac{1}{2}$，a]，
∴f（x）=4x+a-1…（7分）
由f（x）≤g（x）得：3x≤4-a，即x≤$\frac{4-a}{3}$．
依题意：[$\frac{1}{2}$，a]⊆（-∞，$\frac{4-a}{3}$]
∴a≤$\frac{4-a}{3}$即a≤1…（9分）
∴a的取值范围是（$\frac{1}{2}$，1]…（10分）

点评 本题考查了绝对值不等式的解法、恒成立问题的等价转化方法，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．