在直角坐标系xOy中.过点P的直线l的倾斜角为45°．以坐标原点为极点.x轴正半轴为极坐标建立极坐标系.曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=4cosθ.直线l和曲线C的交点为A.B．(1)求曲线C的直角坐标方程, (2)求|PA|•|PB|．题目和参考答案——青夏教育精英家教网——

题目内容

4．在直角坐标系xOy中，过点P（2，-1）的直线l的倾斜角为45°．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极坐标建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin²θ=4cosθ，直线l和曲线C的交点为A，B．
（1）求曲线C的直角坐标方程；
（2）求|PA|•|PB|．

分析（1）利用ρcosθ=x，ρsinθ=y求曲线C的直角坐标方程；
（2）利用参数的几何意义求|PA|•|PB|．

解答（1）∵ρsin²θ=4cosθ，∴ρ²sin²θ=4ρcosθ，…（2分）
∵ρcosθ=x，ρsinθ=y，
∴曲线C的直角坐标方程为y²=4x …（5分）
（2）∵直线l过点P（2，-1），且倾斜角为45°．∴l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=-1+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数）．…（7分）
代入 y²=4x 得t²-6$\sqrt{2}$t-14=0…（8分）
设点A，B对应的参数分别t₁，t₂
∴t₁t₂=-14…（9分）
∴|PA|•|PB|=14．…（10分）

点评本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查参数方程的运用，正确运用参数的几何意义是关键．

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14．已知二次函数f（x）图象的顶点坐标为（1，-1）且图象经过原点．
（1）求f（x）的解析式；
（2）作出函数|f（x）|的图象；
（3）根据图象分别指出k为何值时，关于x的方程|f（x）=k|有2个实根？3个实根？4个实根？

如图所示，在三棱锥A-BCD中，AB⊥平面BCD，M，N分别是AC，AD的中点，BC⊥CD．
（1）求异面直线MN与BC所成的角；
（2）求证：平面ACD⊥平面ABC．

12．为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，相关部门随机调查了该社区5户家庭，得到如表统计数据表：

收入x（万元）	8.2	8.6	10.0	11.3	11.9
支出y（万元）	6.2	7.5	8.0	8.5	9.8

（1）根据上表可得回归直线方程 $\stackrel{∧}{y}$=$\stackrel{∧}{b}$x+$\stackrel{∧}{a}$，其中$\stackrel{∧}{b}$=0.76，$\stackrel{∧}{a}$=$\overline y$-$\stackrel{∧}{b}$$\overline x$，据此估计，该社区一户年收入为15万元的家庭年支出为多少？
（2）若从这5个家庭中随机抽选2个家庭进行访谈，求抽到家庭的年收入恰好一个不超过10万元，另一个超过11万元的概率．

19．已知函数f（x）=|2x-1|+|2x+a|，g（x）=x+3．
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（2）设a＞$\frac{1}{2}$，且当x∈[$\frac{1}{2}$，a]时，f（x）≤g（x），求a的取值范围．

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16．某班学生在一次数学考试中各分数段以及人数的成绩分布为：[0，80），2人；[80，90），6人；[90，100），4人；[100，110），8人；[110，120），12人；[120，130），5人；[130，140），6人；[140，150），2人．那么分数在[100，130）中的频数以及频率分别为（　　）

13．不等式$\frac{3x-1}{2-x}$≥0的解集是（　　）

{x|$\frac{3}{4}$≤x＜2}

{x|$\frac{1}{3}≤x＜2$}

{x|x＞2或$x＜\frac{1}{3}$}

14．若集合A={x|x＞1}，B={x|x≤2}，则A∩B=（　　）

{x|x＞1或x≤2}