Question

10．如图所示，三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，PA=AC=$\sqrt{2}$，则三棱锥P-ABC外接球的体积是（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{2}π}}{3}$
• B． $\frac{8π}{3}$
• C． $\frac{4π}{3}$
• D． 2π

Answer 1

分析 构造补充图形为长方体，几何体三棱锥P-ABC的外接球，与棱长为1，1，$\sqrt{2}$．长方体的外接球应该是同一个外接球，再用长方体的对角线长求解外接球的半径，即可求解体积．

解答 解：∵在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，PA=AC=$\sqrt{2}$，
∴画出几何图形，可以构造补充图形为长方体，棱长为1，1，$\sqrt{2}$．
∵对角线长为 （$\sqrt{2}$）²+（$\sqrt{2}$）²=2．
∴三棱锥P-ABC的外接球的半径为1，
体积为 $\frac{4}{3}$×π×1³=$\frac{4}{3}$π．
故选：C．

点评 本题考查了空间几何体的性质，构建容易操作的几何体，把问题转化求解，关键是有一定的空间想象能力，属于中档题．