Question

9．设f（x）=|ax-2|．
（1）若关于x的不等式f（x）＜3的解集为（-$\frac{5}{3}$，$\frac{1}{3}$），求a的值；
（2）f（x）+f（-x）≥a对于任意x∈R恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由条件知$-\frac{5}{3}$与$\frac{1}{3}$是方程|ax-2|=3的两个根，即：$|{-\frac{5}{3}a-2}|=3$且$|{\frac{1}{3}a-2}|=3$，由此求a的值；
（2）由绝对值不等式性质：f（x）+f（-x）≥|（ax-2）-（ax+2）|=4，即可求实数a的取值范围．

解答 解：（1）由条件知$-\frac{5}{3}$与$\frac{1}{3}$是方程|ax-2|=3的两个根，
即：$|{-\frac{5}{3}a-2}|=3$且$|{\frac{1}{3}a-2}|=3$----------------（3分）
解得a=-3--------------（5分）
（2）设g（x）=f（x）+f（-x）=|ax-2|+|ax+2|，
由绝对值不等式性质：g（x）=f（x）+f（-x）≥|（ax-2）-（ax+2）|=4，即：g（x）_min=4，
若f（x）+f（-x）≥a对于任意x∈R恒成立，只需：a≤4--------（10分）

点评 本题考查绝对值不等式，考查绝对值不等式的性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．