Question

【题目】在某校组织的一次篮球定点投篮训练中，规定每人最多投3次；在A处每投进一球得3分，在B处每投进一球得2分；如果前两次得分之和超过3分即停止投篮，否则投第三次，某同学在A处的命中率q1为0.25，在B处的命中率为q2 ， 该同学选择先在A处投一球，以后都在B处投，用ξ表示该同学投篮训练结束后所得的总分，其分布列为：

ξ	0	2	3	4	5
p	0.03	0.24	0.01	0.48	0.24

（1）求q2的值；
（2）求随机变量ξ的数学期望Eξ；
（3）试比较该同学选择都在B处投篮得分超过3分与选择上述方式投篮得分超过3分的概率的大小．

Answer 1

【答案】
（1）解：设该同学在A处投中为事件A，

在B处投中为事件B，则事件A，B相互独立，

且P（A）=0.25，P（ ）=0.75，P（B）=q2，P（ ）=1﹣q2．

根据分布列知：ξ=0时P（ ）=P（ ）P（ ）P（ ）=0.75（1﹣q2）2=0.03，

所以1﹣q2=0.2，q2=0.8

（2）解：当ξ=2时，P1=P=（ B + B）=P（ B ）+P（ B）

=P（ ）P（B）P（ ）+P（ ）P（ ）P（B）

=0.75q2（1﹣q2）×2=1.5q2（1﹣q2）=0.24

当ξ=3时，P2=P（A ）=P（A）P（ ）P（ ）=0.25（1﹣q2）2=0.01，

当ξ=4时，P3=P（ BB）P（ ）P（B）P（B）=0.75q22=0.48，

当ξ=5时，P4=P（A B+AB）=P（A B）+P（AB）

=P（A）P（ ）P（B）+P（A）P（B）=0.25q2（1﹣q2）+0.25q2=0.24

随机变量ξ的数学期望Eξ=0×0.03+2×0.24+3×0.01+4×0.48+5×0.24=3.63

（3）解：该同学选择都在B处投篮得分超过（3分）的概率为P（ BB+B B+BB）

=P（ BB）+P（B B）+P（BB）=2（1﹣q2）q22+q22=0.896；

该同学选择（1）中方式投篮得分超过3分的概率为0.48+0.24=0.72．

由此看来该同学选择都在B处投篮得分超过3分的概率大

【解析】（1）记出事件，该同学在A处投中为事件A，在B处投中为事件B，则事件A，B相互独立，根据相互独立事件同时发生的概率得到结果．（2）根据上面的做法，做出分布列中四个概率的值，写出分布列算出期望，过程计算起来有点麻烦，不要在数字运算上出错．（3）要比较两个概率的大小，先要把两个概率计算出来，根据相互独立事件同时发生的概率公式，进行比较．