Question

【题目】设函数f(x)＝|x－a|，a<0.

(1)证明：f(x)＋f≥2；

(2)若不等式f(x)＋f(2x)<的解集非空，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）(－1,0)

【解析】试题分析：（1）运用绝对值不等式的性质和基本不等式，即可得证；

（2）通过对x的范围的分类讨论去掉绝对值符号，转化为一次不等式，求得（f（x）+f（2x））min即可．

试题解析：

(1)证明：函数f(x)＝|x－a|，a<0，

设f(x)＋f＝|x－a|＋

＝|x－a|＋≥

＝＝|x|＋≥2

＝2(当且仅当|x|＝1时取等号)．

(2)f(x)＋f(2x)＝|x－a|＋|2x－a|，a<0.

当x≤a时，f(x)＋f(2x)＝a－x＋a－2x＝2a－3x，

则f(x)＋f(2x)≥－a；

当a<x<时，f(x)＋f(2x)＝x－a＋a－2x＝－x，

则－<f(x)＋f(2x)<－a；

当x≥时，f(x)＋f(2x)＝x－a＋2x－a＝3x－2a，

则f(x)＋f(2x)≥－，

则f(x)的值域为，若不等式f(x)＋f(2x)<的解集非空，则需>－，

解得a>－1，又a<0，所以－1＜a＜0，

故a的取值范围是(－1,0)．