题目内容
【题目】已知椭圆的两个焦点分别为
,
,离心率为
,且椭圆四个顶点构成的菱形面积为
.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若直线l :y=x+m与椭圆C交于M,N两点,以MN为底边作等腰三角形,顶点为P(3,-2),求m的值及△PMN的面积.
【答案】(1);(2)
【解析】
(1)根据离心率和菱形面积,得到关于的方程,解出
得到椭圆方程.
(2)直线与椭圆联立,利用韦达定理得到,得到
中点坐标,然后利用等腰三角形三线合一,即底边中线与底边垂直,构造方程,求出
中点坐标,利用弦长公式求出
的长,利用点
到直线
的距离,求出底边
上的高,从而得到
的面积.
(1)椭圆四个顶点构成的菱形面积为
椭圆离心率为
又
解得,故所求椭圆C的方程为:
(2)设,
,
的中点为
消去
得:
由韦达定理得:
,
所以
由
, 解得
,满足
即
顶点到底边
的距离为:
所求.
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