Question

【题目】已知函数f(x)＝x＋1＋|3－x|，x≥－1.

(1)求不等式f(x)≤6的解集；

(2)若f(x)的最小值为n，正数a，b满足2nab＝a＋2b，求2a＋b的最小值．

Answer 1

【答案】（1）{x|－1≤x≤4}（2）

【解析】试题分析：（1）根据题意，由绝对值的性质可以将f（x）≤6转化可得或，解可得x的范围，即可得答案；

（2）根据题意，由函数f（x）的解析式分析可得f（x）的最小值为4，即n=4；进而可得正数a，b满足8ab=a+2b，即+=8，将2a+b变形可得2a+b=（++5），由基本不等式的性质可得2a+b的最小值，即可得答案．

试题解析：

解：(1)当－1≤x＜3时，f(x)＝4；

当x≥3时，f(x)＝2x－2.

∴不等式f(x)≤6等价于或

∴－1≤x＜3或3≤x≤4.

∴－1≤x≤4.

∴原不等式的解集为{x|－1≤x≤4}．

(2)由(1)，得f(x)＝可知f(x)的最小值为4，∴n＝4.

∴8ab＝a＋2b，变形得＋＝8.

∵a＞0，b＞0，

∴2a＋b＝ (2a＋b)＝≥＝.

当且仅当＝，即a＝b＝时取等号．

∴2a＋b的最小值为.