Question

5．根据已知条件求方程：
（1）已知椭圆的两个焦点坐标分别是（-1，0），（1，0），并且经过点（1，-$\frac{3}{2}$），求它的标准方程；
（2）求与椭圆$\frac{{x}^{2}}{40}$+$\frac{{y}^{2}}{15}$=1有相同焦点，且离心率e=$\frac{5}{4}$的双曲线的标准方程．

Answer 1

分析 （1）设椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），由题意可得c=1，代入点（1，-$\frac{3}{2}$），解方程可得a，b，进而得到所求椭圆方程；
（2）求出椭圆的焦点，可得双曲线的c=5，运用离心率公式可得a=4，进而得到b=3，即可得到双曲线的方程．

解答 解：（1）设椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），
由题意可得c=1，$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{9}{4{b}^{2}}$=1，c²=a²-b²，
解得a=2，b=$\sqrt{3}$，
即有椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（2）椭圆$\frac{{x}^{2}}{40}$+$\frac{{y}^{2}}{15}$=1的焦点为（±5，0），
即有双曲线的c=5，
设双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a，b＞0），
且a²+b²=25，又e=$\frac{c}{a}$=$\frac{5}{4}$，
解得a=4，b=3，
则双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{16}$-$\frac{{y}^{2}}{9}$=1．

点评 本题考查椭圆和双曲线的方程和性质，考查离心率公式和焦点坐标，考查运算能力，属于基础题．