Question

17．如果$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$分别满足下列各式，试问$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$之间有什么关系？
（1）|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|；
（2）$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$=λ（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）；
（3）$\frac{\overrightarrow{a}}{|\overrightarrow{a}|}$=$\frac{\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{b}|}$；
（4）|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{a}$|+|$\overrightarrow{b}$|；
（5）|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{a}$|-|$\overrightarrow{b}$|；
（6））|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{a}$|+|$\overrightarrow{b}$|．

Answer 1

分析 利用向量共线定理、向量数量积运算性质即可得出．

解答 解：（1）|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|，两边平方化为$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=0，若$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$为非0向量，则$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$；
（2）$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$=λ（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$），化为$（λ-1）\overrightarrow{a}$=$（1+λ）\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$为共线向量；
（3）$\frac{\overrightarrow{a}}{|\overrightarrow{a}|}$=$\frac{\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{b}|}$，可得$\overrightarrow{a}=\frac{|\overrightarrow{a}|}{|\overrightarrow{b}|}\overrightarrow{b}$，因此$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$为同向共线向量；
（4）|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{a}$|+|$\overrightarrow{b}$|，$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$为同向共线向量；
（5）|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{a}$|-|$\overrightarrow{b}$|，$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$为异向共线向量，且|$\overrightarrow{a}$|≥|$\overrightarrow{b}$|；
（6））|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{a}$|+|$\overrightarrow{b}$|，$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$为异向共线向量．

点评 本题考查了向量共线定理、向量数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．