Question

设函数f（x）=x²+bx+c，x∈[-1，1]，证明：当b＜-2时，在其定义域范围内至少存在一个x，使|f（x）|≥

1

2

成立．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：运用反证法求解：假设不存在这样的x时，使|f（x）|＜

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2

成立．得出0＜b＜2，与b＜-2矛盾，即可证明原结论正确．

解答： 证明：假设不存在这样的x时，使|f（x）|＜

1

2

成立．
x=0，x=-1代入得出：-

1

2

＜1-b+c＜

1

2

，-

1

2

＜c＜

1

2

即-

1

2

＜b-c＜

3

2

，-

1

2

＜c＜

1

2

，
两式相加得出：0＜b＜2，与b＜-2矛盾，
故假设不正确，
所以当b＜-2时，在其定义域范围内至少存在一个x，使|f（x）|≥

1

2

成立．

点评：本题考查了运用反证法证明不等式问题，属于中档题，关键是推理矛盾．