Question

7．求下列函数的值域：
①f（x）=$\frac{1}{1-x（1-x）}$；
②y=x+$\sqrt{1-2x}$．

Answer 1

分析 ①配方得到$f（x）=\frac{1}{（x-\frac{1}{2}）^{2}+\frac{3}{4}}$，这样根据$（x-\frac{1}{2}）^{2}+\frac{3}{4}≥\frac{3}{4}$便可求出$\frac{1}{1-x（1-x）}$的范围，即求出该函数的值域；
②可换元得到$\sqrt{1-2x}=t（t≥0）$，可解出x=$\frac{1-{t}^{2}}{2}$，从而得出y=$-\frac{1}{2}（t-1）^{2}+1$，由t≥0便可得出y的范围，即求出该函数的值域．

解答 解：①$f（x）=\frac{1}{{x}^{2}-x+1}=\frac{1}{（x-\frac{1}{2}）^{2}+\frac{3}{4}}$；
∵$（x-\frac{1}{2}）^{2}+\frac{3}{4}≥\frac{3}{4}$；
∴$0＜\frac{1}{（x-\frac{1}{2}）^{2}+\frac{3}{4}}≤\frac{4}{3}$；
∴该函数的值域为（0，$\frac{4}{3}$]；
②令$\sqrt{1-2x}=t$，（t≥0），∴$x=\frac{1-{t}^{2}}{2}$；
∴$y=\frac{1-{t}^{2}}{2}+t=-\frac{1}{2}（t-1）^{2}+1$；
∵t≥0；
∴$-\frac{1}{2}（t-1）^{2}+1≤1$；
∴该函数的值域为（-∞，1]．

点评 考查函数值域的概念，配方法求二次函数的范围，以及根据不等式的性质求函数值域的方法，换元法求函数值域的方法．