Question

18．设f（x）=$\frac{{e}^{x}-{e}^{-x}}{2}$，g（x）=$\frac{{e}^{x}+{e}^{-x}}{2}$，求证：
（1）[g（x）]²-[f（x）]²=1；
（2）f（2x）=2f（x）•g（x）；
（3）g（2x）=[g（x）]²+[f（x）]²．

Answer 1

分析 把已知式子整体代要证的等式化简可得．

解答 证明：（1）∵f（x）=$\frac{{e}^{x}-{e}^{-x}}{2}$，g（x）=$\frac{{e}^{x}+{e}^{-x}}{2}$，
∴[g（x）]²-[f（x）]²=[$\frac{{e}^{x}+{e}^{-x}}{2}$]²-[$\frac{{e}^{x}-{e}^{-x}}{2}$]²
=$\frac{{e}^{2x}+{2}^{-2x}+2}{4}$-$\frac{{e}^{2x}+{e}^{-2x}-2}{4}$=$\frac{2-（-2）}{4}$=1；
（2）∵f（x）=$\frac{{e}^{x}-{e}^{-x}}{2}$，g（x）=$\frac{{e}^{x}+{e}^{-x}}{2}$，
∴f（2x）=$\frac{{e}^{2x}-{e}^{-2x}}{2}$=$\frac{（{e}^{x}+{e}^{-x}）（{e}^{x}-{e}^{-x}）}{2}$
=2•$\frac{{e}^{x}-{e}^{-x}}{2}$•$\frac{{e}^{x}+{e}^{-x}}{2}$=2f（x）•g（x）；
（3））∵f（x）=$\frac{{e}^{x}-{e}^{-x}}{2}$，g（x）=$\frac{{e}^{x}+{e}^{-x}}{2}$，
∴[g（x）]²+[f（x）]²=[$\frac{{e}^{x}+{e}^{-x}}{2}$]²+[$\frac{{e}^{x}-{e}^{-x}}{2}$]²
=$\frac{{e}^{2x}+{2}^{-2x}+2}{4}$+$\frac{{e}^{2x}+{e}^{-2x}-2}{4}$=$\frac{{e}^{2x}+{e}^{-2x}}{2}$=g（2x）

点评 本题考查函数解析式的求解，整体代入是解决问题的关键，属基础题．