Question

设函数f（x）=ax²+bx+c（a＞0），且f（1）=-

a

2

．
（1）求证：函数f（x）有两个零点；
（2）设x₁，x₂是函数f（x）的两个零点，求x₁-x₂的范围；
（3）求证：函数f（x）的零点x₁，x₂至少有一个在区间（0，2）内．

Answer 1

考点：一元二次方程的根的分布与系数的关系,函数零点的判定定理

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由条件化简函数的解析式，求出函数的判别式，由判别式大于0恒成立得到函数f（x）有两个零点．
（2）设x₁，x₂是函数f（x）的两个零点，则x₁，x₂是方程f（x）=0的两根，可求x₁+x₂及x₁•x₂的值，将|x₁-x₂|变形，用x₁+x₂及x₁•x₂的值表示，配方求出最小值，由题意知，式子无最大值．
（3）分c＞0时和c≤0两种情况，判断函数值在区间端点处的函数值的符号，根据函数零点的判定定理得出结论．

解答： 解：（1）证明：∵f（1）=a+b+c=-

a

2

，∴3a+2b+2c=0，
∴c=-

3

2

a-b．
∴f（x）=ax²+bx-

3

2

a-b，
△=b²-4a（-

3

2

a-b）=b²+6a²+4ab=（2a+b）²+2a²，
∵a＞0，∴△＞0恒成立，故函数f（x）有两个零点．
（2）若x₁，x₂是函数f（x）的两个零点，则x₁，x₂是方程f（x）=0的两根．
∴x₁+x₂=-

b

a

，x₁x₂=-

b

a

-

3

2

．
∴(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x₁x₂=(-

b

a

)2-4（-

b

a

-

3

2

）=(

b

a

+2)2+2≥2．
故x₁-x₂的范围是（-∞，-

2

]∪[

2

，+∞）．
（3）根据f（0）=c，f（2）=4a+2b+c，由（I）知3a+2b+2c=0，∴f（2）=a-c．
（i）当c＞0时，有f（0）＞0，又∵a＞0，
∴f（1）=-

a

2

＜0，故函数f（x）在区间（0，1）内有一个零点，
故在区间（0，2）内至少有一个零点．
（ii）当c≤0时，f（1）＜0，f（0）=c≤0，f（2）=a-c＞0，
∴函数f（x）在区间（1，2）内有一零点，
综合（i）（ii），可知函数f（x）在区间（0，2）内至少有一个零点．

点评：本题考查函数的零点与方程根的关系，函数的零点就是函数f（x）=0的根；零点的判定方法是，函数在区间
端点的函数值异号，属于中档题．