Question

在平面直角坐标系中，直线l与抛物线y²=2x相交于A，B两点．求证：“如果直线l过（3，0），那么

OA

•

OB

=3”是真命题．

Answer 1

考点：抛物线的简单性质,平面向量数量积的运算

专题：平面向量及应用,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设出A，B两点的坐标根据向量的点乘运算求证即可得到：“如果直线l过（3，0），那么

OA

•

OB

=3”是真命题．

解答： 证明：设过点T（3，0）的直线l交抛物线y²=2x于点A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）．
当直线l的钭率不存在时，直线l的方程为x=3，
此时，直线l与抛物线相交于点A（3，

6

）、B（3，-

6

）．
∴

OA

•

OB

=3
当直线l的钭率存在时，设直线l的方程为y=k（x-3），其中k≠0，
由

y2=2x y=k(x-3)

得ky²-2y-6k=0⇒y₁y₂=-6，
又∵x₁=

1

2

y₁²，x₂=

1

2

y₂²，
∴x₁x₂=9，
∴

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=3，
综上所述，命题“如果直线l过点T（3，0），那么

OA

•

OB

=3”是真命题；
综上，命题成立．

点评：本题考查了真假命题的证明，抛物线的简单性质，向量数量积，是抛物线与平面向量的综合应用，难度中档．