Question

求函数y=x³-3x²+x的图象上过原点的切线方程

 

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Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：计算题,导数的概念及应用

分析：由原点的坐标代入函数解析式中判断出原点在函数图象上，设切线与函数的切点A的坐标，求出函数的导函数，把A的横坐标代入导函数中求出的函数值即为切线的斜率，又根据点A和原点两点坐标表示出切线的斜率，两者相等得到A横纵坐标的关系式，记作①，又因为A在函数图象上，把A点坐标代入函数关系式中得到另外一个关于A横纵坐标的关系式，记作②，联立①②即可求出A的横坐标，即可得到切线的斜率，根据求出的斜率与原点坐标写出切线方程即可．

解答： 解：易见O（0，0）在函数y=x³-3x²+x的图象上，y′=3x²-6x+1，但O点未必是切点．
设切点A（x₀，y₀），
∵y′=3x²-6x+1，
∴切线斜率为3x₀²-6x₀+1，又切线过原点，
∴kx0=

y0

x0

=3x₀²-6x₀+1即：y₀=3x₀³-6x₀²+x₀①
又∵切点A（x₀，y₀）y=x³-3x²+x的图象上，
∴y₀=x₀³-3x₀²+x₀②
由①②得：x₀=0或x₀=

3

2

，
∴切线方程为：y=x或5x+4y=0．
故答案为：y=x或5x+4y=0．

点评：此题考查学生会利用导数求切线上过某点切线方程的斜率，会根据斜率和一点坐标写出直线的方程，是一道综合题．