Question

函数f（x）=sinωx+

3

cosωx（x∈R），又f（α）=-2，f（β）=0，且|α-β|的最小值等于π，则正数ω的值为

 

．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用

专题：三角函数的图像与性质

分析：首先，化简函数解析式，然后，根据f（α）=-2，f（β）=0，得到α，β之间的关系，然后，利用|α-β|的最小值等于π，确定正数ω的值．

解答： 解：∵f（x）=sinωx+

3

cosωx（x∈R），
∴f（x）=2sin（ωx+

π

3

），
∵f（α）=-2，
∴f（α）=2sin（ωα+

π

3

）=-2，
∴ωα+

π

3

=-

π

2

+2kπ，k∈Z，
∴α=-

5π

6ω

+

2kπ

ω

，
∵f（β）=0，
∴f（β）=2sin（ωβ+

π

3

）=0，
∴ωβ+

π

3

=nπ，n∈Z，
∴β=-

π

3ω

+

nπ

ω

，
又∵|α-β|=|-

5π

6ω

+

2kπ

ω

+

π

3ω

-

nπ

ω

|，
∴|α-β|min=

π

2ω

=π，
∴ω=

1

2

故答案为：

1

2

．

点评：本题重点考查了二倍角公式、三角恒等变换公式、三角函数的图象与性质等知识，考查运算求解能力，为中档题．