Question

已知函数f（x）（x∈R）满足f（2）=9，且f（x）的导函数f′（x）＜

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2

，则f（x）＜x³+

1

2

x的解集为（　　）

• A、{x|-2＜x＜2}
• B、{x|x＜-2}
• C、{x|x＜-2或x＞2}
• D、{x|x＞2}

Answer 1

考点：导数的运算

专题：

分析：令g（x）=f（x）-x³-

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2

x，从而可得g（x）的单调性，结合f（2）=9，可求得g（2）=0，然后求出不等式的解集即可

解答： 解：∵f（x）＜x³+

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2

x，
∴f（x）-x³-

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2

x＜0，
令g（x）=f（x）-x³-

1

2

x，
∴g′（x）=f′（x）-3x2-

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2

，
∵f′（x）＜

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2

，
∴g′（x）＜0，
∴g（x）在R上是单调递减的，
∵g（2）=f（2）-2³-

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2

×2=0，
∴g（x）＜0的解集是x＞2．
故选：D．

点评：本题利用导数研究函数的单调性，可构造函数，考查所构造的函数的单调性是关键，也是难点所在，属于中档题．