Question

已知函数f（x）=a-

2

2x+1

（a∈R）
（1）判断并证明函数的单调性；
（2）若函数为f（x）奇函数，求实a数的值；
（3）在（2）的条件下，若对任意的t∈R，不等式f（t²+2）+f（-t²-t）＞0恒成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

考点：奇偶性与单调性的综合

专题：函数的性质及应用

分析：（1）函数f（x）为R上的增函数，结合作差法和指数函数的单调性可证得结论；
（2）由函数为f（x）奇函数得f（0）=a-1=0，进而得到实a数的值；
（3）结合函数的奇偶性和单调性可将不等式f（t²+2）+f（-t²-t）＞0化为t²+2＞t²+t，解得实数t的取值范围．

解答： 解：（1）函数f（x）为R上的增函数．证明如下：
证明：函数f（x）的定义域为R，对任意x₁，x₂∈R，设x₁＜x₂，
则f(x1)-f(x2)=(a-

2

2x1+1

)-(a-

2

2x2+1

)=

2

2x2+1

-

2

2x1+1

=

2(2x1-2x2)

(2x2+1)(2x1+1)

，
因为y=2^x是R上的增函数，且x₁＜x₂，
所以2x1-2x2＜0，
所以f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），
函数f（x）为R上的增函数，
（2）∵函数f（x）为奇函数，
∴f（0）=a-1=0，
∴a=1，
（3）∵f（t²+2）+f（-t²-t）＞0对任意的t∈R恒成立，
∴f（t²+2）＞-f（-t²-t），
∵函数f（x）为奇函数，
∴-f（-t²-t）=f（t²+t），
∴f（t²+2）＞f（t²+t）
又∵f（x）在R上为增函数，
∴t²+2＞t²+t，
∴t＜2，
∴实数t的取值范围为（-∞，2）

点评：本题考查的知识点是函数的单调性，函数的奇偶性，利用函数的性质解不等式，是函数图象和性质的综合应用，难度中档．