Question

已知函数f（x）（x∈R）满足f（1）=1，且f（x）在R上的导函数f′（x）＜

1

2

，则不等式f（lgx）＜

lgx+1

2

的解为（　　）

• A、（10，+∞）
• B、（1，+∞）
• C、（0，1）
• D、（1，+10）

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：构造函数g(x)=f(x)-

x

2

，由f′（x）＜

1

2

得到g(x)=f(x)-

x

2

在R上的减函数，令t=lgx，则不等式
f（lgx）＜

lgx+1

2

的可化为f(t)＜

t+1

2

，变形得到g（t）＜g（1），由单调性求出t的范围后可得x的范围，则不等式f（lgx）＜

lgx+1

2

的解集可求．

解答： 解：∵f′（x）＜

1

2

，
∴f′（x）-

1

2

＜0，
令g(x)=f(x)-

x

2

，
则g′(x)=f′(x)-

1

2

＜0．
∴g(x)=f(x)-

x

2

在R上的减函数，
令t=lgx，
∴不等式f（lgx）＜

lgx+1

2

的可化为f(t)＜

t+1

2

，
即f(t)-

t

2

＜

1

2

=f(1)-

1

2

，即g（t）＜g（1），
则t＞1．
即lgx＞1，x＞10．
即不等式解集为（10，+∞）．
故选：A．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了数学转化思想方法，训练了由函数单调性求解不等式，是中档题．