Question

5．设数列{a_n}的前n项和为S_n，且2a_n+S_n=-1．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若实数λ满足$\frac{1}{{{{（{S_n}+1）}^2}}}-\frac{1}{a_n^2}≥\frac{λ}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$，求λ的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推导出2a_n-2a_n-10+a_n=0，从而$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}=\frac{2}{3}$，再由2a₁+S₁=-1，得到数列{a_n}是以-$\frac{1}{3}$为首项，$\frac{2}{3}$为公比的等比数列，由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（Ⅱ）求出S_n=（$\frac{2}{3}$）ⁿ-1，从而不等式$\frac{1}{（\frac{2}{3}）^{2n}}$-$\frac{9}{（\frac{2}{3}）^{2n-2}}$≥$\frac{9λ}{（\frac{2}{3}）^{2n-1}}$，由此能求出λ的最大值．

解答 解：（Ⅰ）∵数列{a_n}的前n项和为S_n，且2a_n+S_n=-1．
∴n≥2时，2a_n-1+S_n-1=-1，
两式相减，得2a_n-2a_n-1+a_n=0，即$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}=\frac{2}{3}$，
又2a₁+S₁=-1，∴${a}_{1}=-\frac{1}{3}$，
∴数列{a_n}是以-$\frac{1}{3}$为首项，$\frac{2}{3}$为公比的等比数列，
∴数列{a_n}的通项公式${a}_{n}=-\frac{1}{3}•（\frac{2}{3}）^{n-1}$．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，S_n=$\frac{-\frac{1}{3}[1-（\frac{2}{3}）^{n}]}{1-\frac{2}{3}}$=（$\frac{2}{3}$）ⁿ-1，
∴不等式$\frac{1}{（{S}_{n}+1）^{2}}$-$\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}}$≥$\frac{λ}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$，即$\frac{1}{（\frac{2}{3}）^{2n}}$-$\frac{9}{（\frac{2}{3}）^{2n-2}}$≥$\frac{9λ}{（\frac{2}{3}）^{2n-1}}$，
两边同时乘以（$\frac{2}{3}$）²ⁿ，得1-$9×（\frac{2}{3}）^{2}≥9λ×\frac{2}{3}$，
解得$λ≤-\frac{1}{2}$，∴λ的最大值为-$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查数列有通项公式的求法，考查实数的最大值的求法，涉及到等比数列、不等式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．