Question

7．在四棱锥P-ABCD中，△PAB为正三角形，四边形ABCD为矩形，平面PAB⊥平面ABCD，AB=2AD，M、N分别为PB、PC的中点．
（Ⅰ）求证：MN∥平面PAD；
（Ⅱ）求二面角B-AM-C的大小．

Answer 1

分析 （Ⅰ）MN是△ABC的中位线，可得MN∥BC∥AD，即可证以MN∥平面PAD．
（Ⅱ）过点P作PO垂直于AB，交AB于点O，因为平面PAB⊥平面ABCD，所以PO⊥平面ABCD，如图建立空间直角坐标系设AB=2，则A（-1，0，0），C（1，1，0），M（$\frac{1}{2}$，0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），B（1，0，0），N（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），利用向量法求解．

解答 解：（Ⅰ）证明：∵M，N分别是PB，PC中点
∴MN是△ABC的中位线∴MN∥BC∥AD
又∵AD?平面PAD，MN?平面PAD 
所以MN∥平面PAD．…（5分）
（Ⅱ）过点P作PO垂直于AB，交AB于点O，
因为平面PAB⊥平面ABCD，所以PO⊥平面ABCD，
如图建立空间直角坐标系设AB=2，则A（-1，0，0），C（1，1，0），M（$\frac{1}{2}$，0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
B（1，0，0），N（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），则$\overrightarrow{AC}=（2，1，0）$，$\overrightarrow{AM}=（\frac{3}{2}，0，\frac{\sqrt{3}}{2}）$．
设平面CAM法向量为$\overrightarrow{{n}_{1}}=（{x}_{1}，{y}_{1}，{z}_{1}）$，由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{AC}=2{x}_{1}+{y}_{1}=0}\\{\overrightarrow{{n}_{2}}•\overrightarrow{AM}=\frac{3}{2}{x}_{1}+\frac{\sqrt{3}}{2}{z}_{1}=0}\end{array}\right.$ 可得$\overrightarrow{{n}_{1}}=（1，-2，-\sqrt{3}$）
平面ABM法向量$\overrightarrow{{n}_{2}}=（0，1，0）$，∴cos＜$\overrightarrow{{n}_{1}}$，$\overrightarrow{{n}_{2}}$＞=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$
 因为二面角B-AM-C是锐二面角，
所以二面角B-AM-C等于$\frac{π}{4}$…（12分）

点评 本题考查了空间线面平行的判定，向量法求二面角，属于中档题．