Question

2．已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，$|φ|＜\frac{π}{2}$）的图象与直线y=1的交点中，相邻两个交点距离的最小值为$\frac{π}{3}$，且$f（x）≤f（{\frac{π}{12}}）$对任意实数x恒成立，则φ=$\frac{π}{3}$．

Answer 1

分析 由题意，函数f（x）图象与直线y=1的交点中，相邻两个交点距离的最小值为$\frac{π}{3}$，即|x₂-x₁|=$\frac{π}{3}$．可得ω=2．那么f（x）=2sin（2x+φ）；$f（x）≤f（{\frac{π}{12}}）$对任意实数x恒成立，可得x=$\frac{π}{12}$时，可得最大值．即可求出φ．

解答 解：由题意，函数f（x）图象与直线y=1的交点中，
相邻两个交点距离的最小值为$\frac{π}{3}$，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=2sin（ωx+φ）}\\{y=1}\end{array}\right.$可得sin（ωx+φ）=$\frac{1}{2}$．
令ωx₁+φ=$\frac{π}{6}$+2kπ，
ωx₂+φ=$\frac{5π}{6}$+2kπ，k∈Z．
则|x₂-x₁|=$\frac{π}{3}$．
可得ω=2．
那么f（x）=2sin（2x+φ）；
∵$f（x）≤f（{\frac{π}{12}}）$对任意实数x恒成立，可得x=$\frac{π}{12}$时，f（x）取得最大值．
即2×$\frac{π}{12}$+φ=$\frac{π}{2}+2kπ$，k∈Z．
∵|φ|$＜\frac{π}{2}$．
可得：φ=$\frac{π}{3}$．
故答案为：$\frac{π}{3}$．

点评 本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用．属于中档题．