Question

已知函数f（x）=log₂（|x-1|+|x-3|-1）
（1）当a=2时，求函数f（x）的最小值；
（2）当函数f（x）的定义域为R时，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：对数函数图象与性质的综合应用

专题：函数的性质及应用

分析：函数定义域满足：|x-1|+|x-3|-a＞0，即|x-1|+|x-3|＞a，利用去绝对值化简g（x）=|x-1|+|x-3|=

2x-4，x≥3 2，1＜x＜3 4-2x，x≤1

解答： 解：（1）函数定义域满足：|x-1|+|x-3|-a＞0，
即|x-1|+|x-3|＞a，
设g（x）=|x-1|+|x-3|=

2x-4，x≥3 2，1＜x＜3 4-2x，x≤1

g（x）_min=2，
f（x）=log₂（|x-1|+|x-3|-1）≥log

(2-1) 2

=0
故函数f（x）的最小值为0．
（2）由（1）知g（x）=|x-1|+|x-3|=

2x-4，x≥3 2，1＜x＜3 4-2x，x≤1

g（x）_min=2，∴a＜2，
即实数a的取值范围为：（-∞，2）

点评：本题考查了函数的性质，概念，运用求变量的范围问题，属于容易题．