Question

已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的掕长为2，动点P在正方体表面运动，且PA=r，（0＜r＜2

3

），记P的轨迹长度为f（r），则关于r的方程f（r）=k的解的个数可以为（　　）

• A、0，2，3，4
• B、0，1，2
• C、1，2，3
• D、0，2，4，6

Answer 1

考点：轨迹方程

专题：函数的性质及应用,导数的综合应用,空间位置关系与距离

分析：由题意画出图形并得出相应的解析式，画出其图象，经过讨论即可得出答案．

解答： 解：根据题意：①当0＜r≤1时，f（r）=3×

π

2

×r=

3πr

2

，
∴f（

1

2

）=

3π

4

．此时，由一次函数的单调性可得：0＜f（r）≤

3π

2

＜5，
②当1＜r≤

2

时，在平面ABCD内，设以点A为圆心，r为半径的圆弧与BC、CD分别交于点E、F，则cos∠DAF=

1

r

，∠EAF=

π

2

-2∠DAF，
∴cos∠EAF=sin2∠DAF=2×

1-( 1 r )2

×

1

r

=

2 r2-1

r2

，
cos∠EAG=

2r2-( 2 r2-1 )2

2r2

=

1

r2

，
∴f（r）=3×r×arccos

2 r2-1

r2

+3×r×arccos

1

r2

，
③当

2

＜r＜

3

时，
∵CM=

r2-2

，
∴C₁M=C₁N=1-

r2-2

，
∴cos∠MAN=

2r2-[ 2 (1- r2-2 )]2

2r2

=

1+2 r2-2

r2

，
∴f（r）=3×r×arccos

1+2 r2-2

r2

，
综上可知：当0＜r≤1时，f（r）=

3πr

2

；
当1＜r≤

2

时，f（r）=3×r×arccos

2 r2-1

r2

+3×r×arccos

1

r2

，
当

2

＜r＜

3

时，f（r）=3×r×arccos

1+2 r2-2

r2

，．
根据以上解析式及图形和对称性可得f（r）的图象：
由图象不难看出：函数y=f（r）与y=k的交点个数分别为，0，2，3，4．
即关于r的方程f（r）=k的解的个数可能为0，2，3，4．
故选：A．

点评：熟练掌握数形结合、分类讨论的思想方法、数形结合的思想方法是解题的关键．