Question

已知函数g（x）=ax²-2ax+1+b（a＞0）在区间[2，3]上的最大值为4，最小值为1，记f（x）=g（|x|）．
（1）求实数a，b的值；
（2）若不等式f（log₂k）＞f（2）成立，求实数k的取值范围；
（3）对于任意满足p=x₀＜x₁＜x₂＜…＜x_n-1＜x_n=q（n∈N^*，n≥3）的自变量x₀，x₁，x₂，…，x_n，如果存在一个常数M＞0，使得定义在区间[p，q]上的一个函数m（x），|m（x₁）-m（x₀）|+|m（x₂）-m（x₁）|+…+|m（x_n）-m（x_n-1）|≤M恒成立，则称函数m（x）为区间[p，q]上的有界变差函数．试判断函数f（x）是否区间[1，3]上的有界变差函数，若是，求出M的最小值；若不是，请说明理由．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,二次函数在闭区间上的最值

专题：导数的综合应用

分析：（1）由g（x）的对称轴x=1得g（x）在区间[2，3]上是增函数，得方程组求出a，b即可；（2）由（1）求出f（x）的表达式，解不等式求出即可；（3）由f（x）的表达式得f（x）为[1，3]上的单调递增函数，根据有界变差函数的概念求出即可．

解答： 解：（1）∵g（x）=a（x-1）²+1+b-a，
又a＞0，∴g（x）在区间[2，3]上是增函数，
故

g(2)=1 g(3)=4

，
解得：a=1，b=0．  
（2）由（1）得：g（x）=x²-2x+1，
故f（x）=x²-2|x|+1是偶函数，
∴不等式f（

log

k 2

）＞f（2）可化为|

log

k 2

|＞2，
解得：k∈（0，

1

4

）∪（4，+∞）．  
（3）∵f（x）=

x2-2x+1，    x≥1 x2+2x+1，   x＜1

，
∴f（x）为[1，3]上的单调递增函数，
则对于任意满足1=x₀＜x₁＜x₂＜…＜x_n-1＜x_n=3（n∈N^*，n≥3）的自变量x₀，x₁，x₂，…，x_n，
有f（1）=f（x₀）＜f（x₁）＜f（x₂）＜…＜f（x_n-1）＜f（x_n）=f（3），
∴|f（x₁）-f（x₀）|+|f（x₂）-f（x₁）|+…+|f（x_n）-f（x_n-1）|
=f（x₁）-f（x₀）+f（x₂）-f（x₁）+…+f（x_n）-f（x_n-1）
=f（x_n）-f（x_n-1）
=f（3）-f（1）
=4，
∴存在常数M≥4，使得
|m（x₁）-m（x₀）|+|m（x₂）-m（x₁）|+…+|m（x_n）-m（x_n-1）|≤M．  
函数f（x）为区间[1，3]上的有界变差函数．即M的最小值为4．

点评：本题考察了函数的性质，导数的应用，函数的单调性，新概念问题，是一道综合题．