Question

一只半径为R的球放在桌面上，桌面上一点A的正上方相距（

3

+1）R处有一点光源O，OA与球相切，则球在桌面上的投影------椭圆的离心率为

 

．

Answer 1

考点：平面与圆柱面的截线

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：根据圆曲线的第一定义，作出过圆锥的轴与椭圆长轴AA′的截面，可得直角三角形AOA′，结合已知求出椭圆的a值，再根据椭圆的几何性质，求出c，即可求出椭圆的离心率．

解答： 解：如图是过圆锥的轴与椭圆长轴AA′的截面，
ED两点为过点O引圆D的两条切线与圆D的切点，
∵OA=（

3

+1）R，
故在Rt△OBE中，
OE=

3

R，BE=R，
则tan∠EOB=

3

3

，
即∠EOB=30°，
故∠EOB=60°，即∠AOA′=60°，
故AA′=2a=

3

OA=（3+

3

）R，即a=

3+ 3

2

R，

根据圆锥曲线的定义，
可得球与长轴AA′的切点是椭圆的焦点F，
根据椭圆的几何性质，AF是焦点到长轴顶点的距离AF=a-c=R，
∴c=

1+ 3

2

R=

3

3

a，
所求椭圆的离心率e=

c

a

=

3

3

，
故答案为：

3

3

点评：本题以空间的圆锥为载体，考查了圆锥曲线的形成过程，同时考查了椭圆的基本量，属于中档题．深刻理解空间位置关系和椭圆的定义与性质，是解决本题的关键．