Question

已知在数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1+a_n=2n，求数列前n项和S_n．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：由已知得a_n+2-a_n=2，从而数列{a_n}的奇数列是以1为首项，2为公差的等左数列，偶数项也是以1为首项，2为公差的等差数列，由此能求出数列前n项和S_n．

解答： 解：∵在数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1+a_n=2n，
∴a_n+2+a_n+1=2（n+1），
∴a_n+2-a_n=2，
又a₂+a₁=2，∴a₂=1，
∴数列{a_n}的奇数列是以1为首项，2为公差的等左数列，
偶数项也是以1为首项，2为公差的等差数列，
∴当n为奇数时，
S_n=（a₁+a₃+a₅+…+a_n）+（a₂+a₄+a₆+…+a_n-1）
=

n+1

2

+

n+1 2 ( n+1 2 -1)

2

×2+

n-1

2

+

n-1 2 ( n-1 2 -1)

2

×2
=n+

(n-1)2

2

．
当n为偶数时，
S_n=（a₁+a₃+a₅+…+a_n-1）+（a₂+a₄+a₆+…+a_n）
=

n

2

+

n 2 ( n 2 -1)

2

×2+

n

2

+

n 2 ( n 2 -1)

2

×2
=n+

n(n-2)

2

=

n2

2

．
∴S_n=

n+ (n-1)2 2 ，n为奇数 n2 2 ，n为偶数

．

点评：本题考查数列的前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．