题目内容
设x＞0，y＞0，且x+y=1，求证（1+
）（1+
）≥9．
| 1 |
| x |
| 1 |
| y |
考点：分析法和综合法
专题：证明题,分析法
分析：分析法是从求证的不等式出发，找到使不等式成立的充分条件，把证明不等式的问题转化为判定这些充分条件是否具有的问题
解答：
证明：要证（1+
）（1+
）≥9成立，-----（1分）
因为x＞0，y＞0，且x+y=1，所以y=1-x＞0．---------------（1分）
只需证明（1+
）（1+
）≥9，--------------------（1分）
即证（1+x）（2-x）≥9x（1-x），-------------------------（2分）
即证2+x-x2≥9x-9x2，即证4x2-4x+1≥0．---------------（1分）
即证（2x-1）2≥0，此式显然成立，----------------------（2分）
所以原不等式成立．----------------------------------（1分）
| 1 |
| x |
| 1 |
| y |
因为x＞0，y＞0，且x+y=1，所以y=1-x＞0．---------------（1分）
只需证明（1+
| 1 |
| x |
| 1 |
| 1-x |
即证（1+x）（2-x）≥9x（1-x），-------------------------（2分）
即证2+x-x2≥9x-9x2，即证4x2-4x+1≥0．---------------（1分）
即证（2x-1）2≥0，此式显然成立，----------------------（2分）
所以原不等式成立．----------------------------------（1分）
点评：本题主要考查用分析法证明不等式，把证明不等式转化为寻找使不等式成立的充分条件，直到使不等式成立的充分条件显然已经具备为止．
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