题目内容
在△AOB的边OA、OB上分别有一点P、Q，已知OP：PA=1：2，OQ：QB=3：2，连结AQ、BP，设它们交于R点，若
=
，
=
，设
=λ
+μ
，试求出λ和μ的值．
| OA |
| a |
| OB |
| b |
| OR |
| a |
| b |
考点：平面向量的基本定理及其意义
专题：平面向量及应用
分析：想办法用
，
表示
，通过观察图形，可以发现有两种表示方式，根据向量的加法：一种是，
=
+
，
和
共线，所以存在实数x使
=x
=x(
-
)，带入并整理得：
=
+(1-x)
；一种是
=
+
，同样的办法可求得
=(1-y)
+
，这时候可以建立关于x，y的方程组，解出x，y即可求出λ，μ．
| a |
| b |
| OR |
| OR |
| OA |
| AR |
| AR |
| AQ |
| AR |
| AQ |
| 3 |
| 5 |
| b |
| a |
| OR |
| x |
| 3 |
| a |
| b |
| OR |
| OB |
| BR |
| OR |
| a |
| 3y |
| 5 |
| b |
解答：
解：∵
和
共线，∴存在实数x使
=x
，同样，存在实数y使
=y
；
=
+
=
+x
=
+x(
-
)=
+(1-x)
；
=
+
=
+y
+y(
-
)=(1-y)
+
；
∴
+(1-x)
=(1-y)
+
；
∵
，
不共线；
∴
，解得x=
，y=
；
∴
=
+
；
∴λ=
，μ=
．
| AR |
| AQ |
| AR |
| AQ |
| BR |
| BP |
| OR |
| OB |
| BP |
| OB |
| BP |
| b |
| 1 |
| 3 |
| a |
| b |
| x |
| 3 |
| a |
| b |
| OR |
| OA |
| AR |
| OA |
| AQ |
| a |
| 3 |
| 5 |
| b |
| a |
| a |
| 3y |
| 5 |
| b |
∴
| x |
| 3 |
| a |
| b |
| a |
| 3y |
| 5 |
| b |
∵
| a |
| b |
∴
|
| 1 |
| 2 |
| 5 |
| 6 |
∴
| OR |
| 1 |
| 6 |
| a |
| 1 |
| 2 |
| b |
∴λ=
| 1 |
| 6 |
| 1 |
| 2 |
点评：考查向量的加法运算，共线向量基本定理，共面向量基本定理，用两种方式表示
是求解本题的关键．
| OR |
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