Question

设定义在（0，+∞）的函数f（x）的导函数为f′（x），且满足2f（x）+xf′（x）＞x²．若a，b，c满足a=2^2.2•f（2^1.1），b=（log₃2）²•f（log₃2），c=（log₂3）²•f（log₂3），则a，b，c的大小关系是（　　）

• A、a＜b＜c
• B、b＜a＜c
• C、c＜a＜b
• D、b＜c＜a

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,函数单调性的性质

专题：计算题,函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：由于2f（x）+xf′（x）＞x²（x＞0），则2xf（x）+x²f′（x）＞x³＞0，由导数的运算法则得，（x²f（x））′＞0，即有F（x）=x²f（x）在x＞0上单调递增，则通过指数函数、对数函数的性质，即可比较它们的大小．

解答： 解：由于2f（x）+xf′（x）＞x²（x＞0），
则2xf（x）+x²f′（x）＞x³＞0，
由导数的运算法则得，（x²f（x））′＞0，
即有F（x）=x²f（x）在x＞0上单调递增，
则a=F（2^1.1），b=F（log₃2），c=F（log₂3），
由于2^1.1＞2，0＜log₃2＜1，1＜log₂3＜2，
则a＞c＞b，
故选D．

点评：本题考查函数的单调性和运用，考查指数、对数的运算，考查导数的运算法则，及单调性与导数的符号之间的关系，考查运算能力，属于中档题和易错题．