Question

如图，AA₁，BB₁为圆柱OO₁的母线，BC是底面圆O的直径，D，E分别是AA₁，CB₁的中点，DE⊥面CBB₁．
（Ⅰ）证明：DE∥面ABC；
（Ⅱ）证明：A₁B₁⊥面A₁AC；
（Ⅲ）假设这是个大容器，有条体积可以忽略不计的小鱼能在容器的任意地方游弋，如果鱼游到四棱锥C-ABB₁A₁内会有被捕的危险，求鱼被捕的概率．

Answer 1

考点：直线与平面垂直的判定,几何概型,棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）由题意推导出四边形AOED是平行四边形，由此能证明DE∥平面ABC．
（Ⅱ） 由已知条件推导出AA₁⊥AB，AB⊥AC，由此能证明AB⊥面A₁AC，从而得到A₁B₁⊥面A₁AC．
（Ⅲ）鱼被捕的概率等于四棱锥C-ABB₁A₁与圆柱OO₁的体积比，由此能求出结果．

解答： （Ⅰ）证明：连结EO，OA，∵E，O分别为B₁C，BC的中点，∴EO∥BB₁．
又DA∥BB₁，且DA=EO=

1

2

BB1．
∴四边形AOED是平行四边形，
∴DE∥OA，∵DE不包含于平面ABC，OA?平面ABC，
∴DE∥平面ABC．…（4分）
（Ⅱ） 证明：AA₁，BB₁为圆柱OO₁的母线，AB∥A₁B₁，
∵AA₁垂直于圆O所在平面，故AA₁⊥AB，
又BC是底面圆O的直径，∴AB⊥AC，AC∩AA₁=A，
∴AB⊥面A₁AC，
由AB∥A₁B₁，所以A₁B₁⊥面A₁AC．…（8分）
（Ⅲ）解：鱼被捕的概率等于四棱锥C-ABB₁A₁与圆柱OO₁的体积比，
由DE⊥面CBB₁，且由（Ⅰ）知DE∥OA．∴AO⊥面CBB₁，
∴AO⊥BC，∴AC=AB．
∵BC是底面圆O的直径，得CA⊥AB，且AA₁⊥CA，
∴CA⊥面AA₁⊥AA₁B₁B，即CA为四棱锥的高．设圆柱高为h，底半径为r，
则V_柱=πr²h，V椭=

1

3

h(

2

r)•(

2

r)=

2

3

hr2，
∴V_椭圆：V_柱=

2

3π

，即p=

2

3π

．
鱼被捕的概率为

2

3π

．…（12分）

点评：本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，几何体的体积等基础知识；考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力；考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想．