Question

13．定义$\frac{n}{{{p_1}+{p_2}+{p_3}+…+{p_n}}}$为n个实数P₁．P₂．…．P_n的“均倒数”．已知数列{a_n}的前n项的“均倒数”为$\frac{1}{2n+a}$，前n项和S_n≥S₅恒成立，则实数a的取值范围是（　　）

• A． （-18，-16）
• B． [-18，-16]
• C． （-22，-18）
• D． （-20，-18）

Answer 1

分析 数列{a_n}的前项和为S_n=n（2n+a），由此能求出{a_n}的通项公式a_n=4n-2+a，得到数列为等差数列，根据求和公式得到S_n=2n²+an，求出S₅=50+5a，由前n项和S_n≥S₅恒成立，得到a（5-n）≤2（n+5）（n-5），分类讨论，即可求出a的范围．

解答 解：∵数列{a_n}的前n项的“均倒数”为$\frac{1}{2n+a}$，
∴根据题意得数列{a_n}的前项和为：S_n=n（2n+a），
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=n（2n+a）-（n-1）（2n-2+a）=4n-2+a，
n=1时，a₁=S₁=2+a适合上式，
∴a_n=4n-2+a，
∴a_n-a_n-1=4n-2+a-4（n-1）+2-a=4，
∴数列{a_n}为等差数列，
∴S_n=$\frac{n（2+a+4n-2+a）}{2}$=2n²+an，
∴S₅=50+5a，
∵S_n≥S₅恒成立，
∴2n²+an≥50+5a，
∴a（5-n）≤2n²-50=2（n+5）（n-5）
当n＜5时，a≤-2（n+5），
∵-2（n+5）＜-18，
∴a＜-18；
当n＞5时，a≥-2（n+5），
∵-2（n+5）＜-22，
∴a＞-22
当n=5时，a取任何数都成立．
综上所述a的取值范围为（-22，-18），
故选：C

点评 本题考查数列的通项公式和前n项和的求法，以及恒成立的问题，是中档题，解题时要认真审题．