Question

3．已知圆${C_1}：{x^2}+{y^2}+2x=0$，圆${C_2}：{x^2}+{y^2}-2x-2y-2=0$，C₁，C₂分别为两圆的圆心．
（Ⅰ）求圆C₁和圆C₂的公共弦长；
（Ⅱ）过点C₁的直线l交圆C₂与A，B，且$AB=\sqrt{14}$，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）两圆相减可得公共弦方程，即可求圆C₁和圆C₂的公共弦长；
（Ⅱ）圆C₂的圆心为（1，1），半径为2，圆心到直线l的距离为$\sqrt{4-（\frac{\sqrt{14}}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，设直线l的方程为y=k（x+1），利用点到直线的距离公式，求出k，即可求直线l的方程．

解答 解：（Ⅰ）两圆相减可得2x+y+1=0，
圆C₁的圆心为（-1，0），半径为1，圆心到直线的距离d=$\frac{1}{\sqrt{5}}$，
∴圆C₁和圆C₂的公共弦长=2$\sqrt{1-\frac{1}{5}}$=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$；
（Ⅱ）圆C₂的圆心为（1，1），半径为2，圆心到直线l的距离为$\sqrt{4-（\frac{\sqrt{14}}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
设直线l的方程为y=k（x+1），即kx-y+k=0，∴$\frac{|2k-1|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴k=1或$\frac{1}{7}$，
∴直线l的方程为y=x+1，或y=$\frac{1}{7}$（x+1）．

点评 本题考查圆与圆的位置关系，考查点到直线距离公式的运用，属于中档题．