Question

已知：不等式（x+ay）（x+y）≥25xy对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为

 

．

Answer 1

考点：二维形式的柯西不等式

专题：函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：由不等式（x+ay）（x+y）≥25xy对任意正实数x，y恒成立?(

x

y

)2+(a-24)•

x

y

+a≥0，对于任意

x

y

＞0恒成立．令t=

x

y

＞0．则f（t）=t²+（a-24）t+a≥0对于任意t＞0恒成立．可得△=（a-24）²-4a≤0或

△＞0 - a-24 2 ＜0 f(0)≥0

．解出即可．

解答： 解：由不等式（x+ay）（x+y）≥25xy对任意正实数x，y恒成立，
?(

x

y

)2+(a-24)•

x

y

+a≥0，对于任意

x

y

＞0恒成立．
令t=

x

y

＞0．
∴f（t）=t²+（a-24）t+a≥0对于任意t＞0恒成立．
∴△=（a-24）²-4a≤0或

△＞0 - a-24 2 ＜0 f(0)≥0

．
解得16≤a≤36或a＞36．
∴a≥16．
因此a的最小值是16．
故答案为：16．

点评：本题考查了二次函数的单调性，考查了恒成立问题的等价转化方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．