Question

若关于x的不等式ax²+bx+c＞0的解集为（α，β），其中α＜0＜β，则关于x的不等式cx²-bx+a＜0的解集为

 

．

Answer 1

考点：一元二次不等式的解法

专题：不等式的解法及应用

分析：由不等式ax²+bx+c＞0的解集为（α，β）求出方程cx²-bx+a=0的两根为-

1

β

，-

1

α

．然后结合c的符号得到
不等式cx²-bx+a＜0的解集．

解答： 解：∵关于x的不等式ax²+bx+c＞0的解集为（α，β），
∴α，β是一元二次方程ax²+bx+c=0的两根，且a＜0．
则

- b a =α+β c a =αβ

，则

b c =- 1 α - 1 β a c =(- 1 α )(- 1 β )

．
∵α＜0＜β，
∴

c

a

=αβ＜0，a＜0，得c＞0．
-

1

α

＞-

1

β

．
∴方程cx²-bx+a=0的两根为-

1

β

，-

1

α

．
则不等式cx²-bx+a＜0的解集为(-

1

β

，-

1

α

)．
故答案为：(-

1

β

，-

1

α

)．

点评：本题考查了一元二次不等式的解法，考查了二次方程的根与二次不等式的解集关系，是中档题．