Question

对于△ABC，有如下四个命题：
①若sin2A=sin2B，则△ABC为等腰三角形，
②若sinB=cosA，则△ABC是直角三角形，
③若

a

cos A 2

=

b

cos B 2

=

c

cos C 2

，则△ABC为正三角形，
④若sin2A+sin2B+sin2C＜2，则△ABC为钝角三角形，
⑤若cos（A-B）cos（B-C）cos（C-A）=1，则△ABC为正三角形．
其中正确的命题是

 

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：阅读型,解三角形

分析：①通过sin2A=sin2B求出A与B的关系，判断正误；
②sinA=cosB，找出反例，即可判断△ABC是否是直角三角形；
③由正弦定理和二倍角的正弦公式，即可判断；
④取A=30°，B=60°，C=90°即可判断；
⑤由三角函数的有界性可知三个都是1或者两个-1一个1，都是1显然成立，如果两个-1则不可能，即可判断．

解答： 解：①由sin2A=sin2B，则2A=2B，或2A=180°-2B，所以①不正确；
②若sinB=cosA，则可取A=30°，B=60°或A=30°，B=120°，均满足条件，但不一定为直角三角形，
故②不正确；
③由

a

cos A 2

=

b

cos B 2

=

c

cos C 2

，结合正弦定理有

sinA

cos A 2

=

sinB

cos B 2

=

sinC

cos C 2

，
即sin

A

2

=sin

B

2

=sin

C

2

，又A，B，C为三角形内角，所以A=B=C．所以③正确；
④取A=30°，B=60°，C=90°，满足sin2A+sin2B+sin2C＜2，所以④不正确；
⑤若cos（A-B）cos（B-C）cos（C-A）=1，
由三角函数的有界性可知三个都是1或者两个-1一个1，都是1显然成立，
如果两个-1则不可能，所以三角形为正三角形，所以⑤正确．
故答案为：③⑤．

点评：本题考查了命题的真假判断，考查了三角形中角的关系及正余弦定理，同时考查三角函数中的二倍角公式，诱导公式，此题是中档题．