Question

在数列{a_n}中，已知a₁=

7

2

，a_n=3a_n-1+3ⁿ-1（n≥2，n∈N^*），则数列{a_n}的通项为a_n=

 

．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：由首项结合数列递推式求出第二项和第三项，然后构造等差数列{

an-1

3n

}，求出其首项和公差，写出其通项公式，则数列{a_n}的通项公式可求．

解答： 解：由a₁=

7

2

，a_n=3a_n-1+3ⁿ-1，得
a2=3×

7

2

+8=

37

2

，
a3=3×

37

2

+28=

167

2

．
设

an+λ

3n

=xn+y，
则

7 2 =3x+3y-λ 37 2 =18x+9y-λ 167 2 =81x+27y-λ

．
解得：x=

10

9

，y=-

5

18

，λ=-1．
∴

an-1

3n

=

10

9

n-

5

18

，
即数列{

an-1

3n

}构成以

5

6

为首项，以

10

9

为公差的等差数列．
∴

an-1

3n

=

5

6

+

10

9

(n-1)=

10

9

n-

5

18

．
∴an=(

10

9

n-

5

18

)•3n+1．
故答案为：(

10

9

n-

5

18

)•3n+1．

点评：本题考查了数列递推式，考查了利用构造法求数列的通项公式，是中档题．