Question

已知f（x）=|sinx|（x≥0），y=g（x）是过原点且与y=f（x）图象恰有三个交点的直线，这三个交点的横坐标分别为0，α，β（0＜α＜β），那么下列结论中正确的有

 

．（填正确结论的序号）
①f（x）-g（x）≤0的解集为[α，+∞）；
②y=f（x）-g（x）在（

π

2

，α）上单减；
③αsinβ+βsinα=0
④当x=π时，y=f（x）-g（x）取得最小值．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：函数的性质及应用,三角函数的图像与性质

分析：画出f（x）=|sinx|（x≥0），的图象，过原点的直线与函数y=|sinx|（x≥0）的图象有且只有三个交点，则直线与函数y=|sinx|（x≥0）在区间（π，2π）内的图象相切，由图象可知，

π

2

＜α＜π，π＜β＜

3π

2

，
故由题意设切点坐标为（β，-sinβ），运用导数，得β=tanβ．即直线y=-cosβ•x，
对于①，f（x）-g（x）≤0的解集，由图象可知；对于②，在（

π

2

，α）上，求出导数，即可判断；
对于③，由β=tanβ和sinα=-cosβ•α，即可判断；对于④，由②知，当x=α时，y=f（x）-g（x）取得最小值．

解答： 解：画出f（x）=|sinx|（x≥0），的图象，
∵过原点的直线与函数y=|sinx|（x≥0）的图象有且只有三个交点，
∴直线与函数y=|sinx|（x≥0）在区间（π，2π）内的图象相切，
在区间（π，2π）上，f（x）的解析式为y=-sinx，且

π

2

＜α＜π，π＜β＜

3π

2

，
故由题意设切点坐标为（β，-sinβ），∴切线斜率k=y′=-cosx|_x=β=-cosβ，
∴由点斜式得切线方程为：y+sinβ=-cosβ（x-β），∴y=-cosβ•x+βcosβ-sinβ，
∵直线过原点，∴βcosβ-sinβ=0，得β=tanβ．即直线y=-cosβ•x，
对于①，f（x）-g（x）≤0的解集，由图象可知为[α，+∞），故①对；
对于②，在（

π

2

，α）上，y=sinx+cosβ•x，y′=cosx+cosβ＜0，故②对；
对于③，由sinα=-cosβ•α，αsinβ+βsinα=αsinβ-αβcosβ=αsinβ-αtanβcosβ
=αsinβ-αsinβ=0，故③对；
对于④，由②知，当x=α时，y=f（x）-g（x）取得最小值，故④不正确．
故答案为：①②③．

点评：本题考查正弦函数的图象，考查导数知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于难题．