Question

给出下列命题：
①若平面α内有三个不共线的点到平面β的距离相等，则α∥β；
②P是异面直线a，b外一点，则过P与直线a，b都平行的平面有且只有一个；
③在三棱锥P-ABC中，PA=PB=PD，P在面ABC的射影为O，则O为△ABC的重心；
④在四面体的各个面中，直角三角形的个数最多有4个；
其中正确命题的个数为（　　）

• A、0个
• B、1个
• C、2个
• D、3个

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：空间位置关系与距离

分析：①，当平面α与平面β相交时，平面α内有三个不共线的点到平面β的距离相等，可判断①；
②，利用反证法，假设过P与直线a，b都平行的平面有2个，可导出矛盾，从而可判断②；
③，在三棱锥P-ABC中，PA=PB=PC，可判断P在面ABC的射影O为△ABC的外心，由此可判断③；
④，作出图形，可判断在四面体的各个面中，直角三角形的个数最多有4个，可判断④．

解答： 解：对于①，当平面α与平面β相交时，α内在平面β的两侧存在三点到平面β的距离相等，故①错误；
对于②，假设过P与直线a，b都平行的平面有2个，分别为α与β，α∩β=l，P∈l，由线面平行的性质定理可知，a∥l，b∥，于是得：a∥b，这与a、b异面矛盾，
故假设不成立，所以过P与直线a，b都平行的平面有且只有一个，即②正确；
对于③，在三棱锥P-ABC中，PA=PB=PC，P在面ABC的射影为O，
则OA=OB=OC，则O为△ABC的外心，故③错误；
对于④，在四面体的各个面中，PA⊥底面ABC，∠ABC=

π

2

，如图，

则∠PAB，∠PAC，∠PBC，∠ABC均为直角（每个面中一个），
直角三角形的个数有4个，为最多的情况，故④正确；
综上所述，正确命题的个数为2个，
故选：C．

点评：本题考查命题的真假判断与应用，综合考查空间直线与直线之间的位置关系，考查三角形的外心的性质，反证法的应用，属于中档题．